正多面体有多少种?其实可以更简单

作者:半瓶墨水   链接:http://www.2maomao.com/blog/zheng-duo-mian-ti/

在网上搜索“正多面体有多少种?”,会得出许多结果,大多数说到欧拉定理,比如这个:

在拓扑学的发展历史中,还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理,可以得出这样一个有趣的事实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

但是这个解决方法太公式化,对于我来说可以理解的方法才好记,想了一下,其实比较简单。

几个想法
1. 正多面体的一个顶点至少连接三个面,这个比较好理解,否则哪有 “” 呢
2. 在每个顶点上面交汇的几个角都相等,废话
3. 正多面体的每个面都是正多边形,好像又是废话
4. 每个面都是同样的多边形,每个顶点上汇集的角的数量相等,否则就不是“正”了。

好了,现在想一想,符合这样的条件的正多边形有哪几种呢
最小的正多边形是正三角形,最大可以无穷大
好像是>=3就可以

在上面的想法1里面,我们知道,一个顶点上面有三个面,也就是三个角。这三个角加起来,应该不构成平面(360度)才行(否则就没有“”了)。那么每个角都不能大于120度。所以六边形以上的(包括六边形)都被排除了。

所以符合条件的,就剩下正3/4/5边形,下面来分别说说这几个正多边形

1. 正三角形,顶角60度
由于顶点上的角加起来不能大于或等于360度(否则就不能构成“体”了),所以最多有三种可能性:一个顶点有3/4/5个三角形汇集。

一个顶点三个角的,很容易想到,正四面体嘛。
正四面体

一个顶点四个角的,不容易了,不过应该能够想出来,正八面体嘛。
正八面体

一个顶点五个角的是啥?难以想象啊,正20面体。贴个图吧:
正二十面体

2. 正方形,顶角90度
所以最多有一种可能性:一个顶点有三个角汇集,否则就大于或等于360度了
这就是传说中的正方体啊。
正六面体

3. 五边形,顶角108度
所以最多有一种可能性:一个顶点有三个角汇集,否则就大于360度了
这个如果你能够想象的话,这个是正十二面体:
正十二面体

数数看,3+1+1,哇,还真是5个~~~hoho,比较好理解一点吧。

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